Question

19．某一等差數(shù)列的a₁＜0，a₁₀₀≥74，a₂₀₀＜200，且在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，5）中的項(xiàng)比[20，$\frac{49}{2}$]中的項(xiàng)少2，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{3}{4}$n-1．

Answer 1

分析 由a₁₀₀=a₁+99d≥74，a₁＜0可得d＞$\frac{74}{99}$；由100d=a₂₀₀-a₁₀₀＜200-74可得$\frac{74}{99}$＜d＜$\frac{126}{100}$，且$\frac{1}{2}$，5，20，$\frac{49}{2}$是數(shù)列的項(xiàng)，從而可得存在n∈N^*，使nd=$\frac{3}{2}$，從而可得d=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，再求a₁即可，從而解得．

解答 解：∵a₁₀₀=a₁+99d≥74，a₁＜0；
∴d＞$\frac{74}{99}$；
∵a₁₀₀≥74，a₂₀₀＜200，
∴100d=a₂₀₀-a₁₀₀＜200-74，
∴$\frac{74}{99}$＜d＜$\frac{126}{100}$，
∵在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，5）中的項(xiàng)比[20，$\frac{49}{2}$]中的項(xiàng)少2，
∴$\frac{1}{2}$，5，20，$\frac{49}{2}$是數(shù)列的項(xiàng)，
∴存在m₁，m₂，m₃，m₄∈N^*，
5-$\frac{1}{2}$=m₁d，20-5=m₂d，20-$\frac{1}{2}$=m₃d，$\frac{49}{2}$-$\frac{1}{2}$=m₄d；
∵15-3×$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴存在n∈N^*，使nd=$\frac{3}{2}$，
故$\frac{74}{99}$＜$\frac{3}{2n}$＜$\frac{126}{100}$，
故$\frac{50}{42}$＜n＜$\frac{297}{148}$，
故n=2，
故d=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
a₁₀₀=a₁+99•$\frac{3}{4}$≥74，
故a₁≥-$\frac{1}{4}$，
又∵$\frac{1}{2}$是數(shù)列的項(xiàng)，
∴a₁=-$\frac{1}{4}$，
故a_n=-$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$（n-1）=$\frac{3}{4}$n-1，
故答案為：a_n=$\frac{3}{4}$n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了不等式的應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用．