Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，A₁B₁⊥B₁C₁，AB=BC=BB₁=2，M是BC₁的中點．
（Ⅰ）證明：BC₁⊥平面A₁B₁M；
（Ⅱ）求三棱錐M-A₁B₁B的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的三線合一得到B₁C⊥B₁M①和BC₁⊥A₁M②，結(jié)合線面垂直的判定解答；
（Ⅱ）首先判定A₁B₁⊥平面BMB₁，然后利用等積法得到VM-A1B1B=VA1-BMB1=

1

3

×S△BMB1×A₁B₁，只要求出△BMB₁的面積．

解答： 解：（Ⅰ）因為△B₁BC₁為等腰三角形，M是BC₁的中點，
所以B₁C⊥B₁M①
又因為△A₁BC₁為等腰三角形，M是BC₁的中點，所以BC₁⊥A₁M②，
由①②可得BC₁⊥平面A₁B₁M；
（Ⅱ）因為已知三棱柱是直棱柱，所以BB₁⊥A₁B₁，又A₁B₁⊥B₁C₁，
所以A₁B₁⊥平面BMB₁，所以VM-A1B1B=VA1-BMB1=

1

3

×S△BMB1×A₁B₁，
其中S△BMB1=

1

2

×BM×MB1=

1

2

×

2

×

2

=1，A₁B₁=2，
所以VM-A1B1B=

1

3

×1×2=

2

3

．

點評：本題考查了線面垂直的判定和三棱柱性質(zhì)的運用，屬于基礎題．