Question

過直線2x-y=0和圓（x+1）²+（y-2）²=4的交點(diǎn)，并且面積最小的圓的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：設(shè)出所求圓的方程為（x+1）²+（y-2）²-4+λ（2x-y）=0，找出此時(shí)圓心坐標(biāo)，當(dāng)圓心在直線2x-y=0上時(shí)，圓的半徑最小，可得此時(shí)面積最小，把表示出的圓心坐標(biāo)代入2x-y=0中，得到關(guān)于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，進(jìn)而確定出所求圓的方程．

解答： 解：可設(shè)圓的方程為（x+1）²+（y-2）²-4+λ（2x-y）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（-λ-4）y+1=0，
此時(shí)圓心坐標(biāo)為（-1-λ，

λ+4

2

），
顯然當(dāng)圓心在直線2x-y=0上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，
∴2（-1-λ）-

λ+4

2

=0，
解得：λ=-

8

5

，
則所求圓的方程為：x²+y²-

6

5

x-

12

5

y+1=0．
故答案為：x²+y²-

6

5

x-

12

5

y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程，找出圓心坐標(biāo)，得出圓心在直線2x-y=0上時(shí)面積最小是解本題的關(guān)鍵．