Question

如圖，在正四面體S-ABC中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SB，SA，AC，CB的中點．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）求證：SC∥平面EFGH；
（3）求證：BC⊥平面SAH．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）∵E，F(xiàn)，G，H分別是棱SB，SA，AC，CB的中點，利用中位線的性質(zhì)得證；
（2）由（1）知，F(xiàn)G∥SC，利用線面平行的判定定理可得；
（3）∵S-ABC是正四面體，所以它的四個面是全等的等邊三角形，H是BC的中點，得到BC⊥SH，BC⊥AH，由線面垂直的判定定理可證．

解答： 證明：（1）∵E，F(xiàn)，G，H分別是棱SB，SA，AC，CB的中點，
∴FG∥SC，EH∥SC，且FG=

1

2

SC，EH=

1

2

SC，（2分）
∴FG∥EH且FG=EH，（3分）
∴四邊形EFGH是平行四邊形．（4分）
（2）由（1）知，F(xiàn)G∥SC，（5分）
且FG?平面EFGH，SC?平面EFGH，（7分）
∴SC∥平面EFGH．（8分）
（3）∵S-ABC是正四面體，
所以它的四個面是全等的等邊三角形．（9分）

∵H是BC的中點，
∴BC⊥SH，BC⊥AH．（11分）
又SH?平面SAH，AH?平面SAH，且SH∩AH=H，（12分）
∴BC⊥平面SAH．（13分）

點評：本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、線面平行、線面垂直的判定定理的運用，熟練運用判定定理是證明的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題