Question

已知動點M（x，y）到直線L：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程．
（2）過點P（0，1）的直線m與曲線C交于A，B兩點，若

AP

=2

PB

，求直線m的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)動點M（x，y）到直線L：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍，建立方程，即可得到動點C的軌跡方程；
（2）設m的方程為：y=kx+1代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：3x²+4（k²x²+2kx+1）=12，利用韋達定理，結合

AP

=2

PB

，即可求直線m的方程．

解答： 解：（1）由已知得：|x-4|=2

(x-1)2+y2

兩邊平方：x²-8x+16=4（x²-2x+1+y²）
整理為：3x²+4y²=12
所以軌跡C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）當m⊥x軸時，|AP|=

3

+1，|PB|=

3

-1或|AP|=

3

-1，|PB|=

3

+1
此時，

AP

=2

PB

都不成立．
所以可設m的方程為：y=kx+1
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：3x²+4（k²x²+2kx+1）=12
整理為：（3+4k²）x²+8kx-8=0-----*
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則 

x1+x2= -8k 3+4k2 ------① x1x2= -8 3+4k2 -------②

又由 

AP

=2

PB

得（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1）∴-x₁=2x₂---------------③
聯(lián)立①，③并解之得：

x1= -16k 3+4k2 x2= 8k 3+4k2

代入②：

-16×8k2

(3+4k2)2

=

-8

3+4k2

化為16k²=3+4k²，k2=

1

4

∴k=±

1

2

經驗證，此時方程*的判別式△＞0．
所以直線m的方程為：y=

1

2

x+1或y=-

1

2

x+1…（12分）

點評：本題給出動點滿足的條件，求它的軌跡方程并依此求直線與橢圓的位置關系．著重考查了兩點的距離公式、直線的方程和直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．