Question

已知橢圓G：

x2

4

+y²=1．過x軸上的動點(diǎn)P（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓G上的點(diǎn)到直線x-2y+1=0的最大距離；
（Ⅱ）①當(dāng)實(shí)數(shù)m=1時，求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
②將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)直線y=

1

2

x+t，代入橢圓方程

x2

4

+y²=1，得x²+2tx+2（t²-1）=0，直線y=

1

2

x-

2

與直線x-2y+1=0的距離為橢圓G上的點(diǎn)到直線x-2y+1=0的最大距離，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）①由題意知，|m|≥1．當(dāng)m=1時，切線l的方程為x=1，由此能求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．
②當(dāng)m=±1時，|AB|=

3

．當(dāng)|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m）．由

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由此利用直線與圓相切、韋達(dá)定理、橢圓弦長公式等知識結(jié)合已知條件能求出|AB|的最大值為2．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線y=

1

2

x+t，代入橢圓方程

x2

4

+y²=1，
得x²+2tx+2（t²-1）=0，
由△=0，得t=±

2

，（4分）
直線y=

1

2

x-

2

與直線x-2y+1=0的距離為橢圓G上的點(diǎn)到直線x-2y+1=0的最大距離，
其值為d=

|1-(-2 2 )|

5

=

5 +2 10

5

．（6分）
（Ⅱ）①由題意知，|m|≥1．
當(dāng)m=1時，切線l的方程為x=1，
點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

）．（8分）
②m=1時，A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），|AB|=

3

．
當(dāng)m=-1時，A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），|AB|=

3

．（9分）
當(dāng)|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m）．
由

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．（10分）
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

．
又由l與圓x²+y²=1相切，得

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1．（11分）
所以|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2 ]

=

4 3 |m|

m2+3

．（12分）
由于當(dāng)m=±1時，|AB|=

3

，所以|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
因?yàn)閨AB|=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，（13分）
且當(dāng)m=±

3

時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2．（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，才查將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．