Question

6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）和g（x）滿足f（x）=$\frac{{f}^{′}（1）}{2}$•e^2x-2+x²-2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，則下列不等式成立的是（　�。�

• A． f（2）g（2015）＜g（2017）
• B． f（2）g（2015）＞g（2017）
• C． g（2015）＜f（2）g（2017）
• D． g（2015）＞f（2）g（2017）

Answer 1

分析 先對f（x）求導(dǎo)，再令x=0，求出f（x）的解析式，對于g（x）+g′（x）＜0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=e^xg（x），利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系得到F（x）單調(diào)遞減，得到F（2015）＞F（2017），即e^2×2015g（2015）＞e^2×2017g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），即可得到答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{f}^{′}（1）}{2}$•e^2x-2+x²-2f（0）x，
∴f′（x）=f′（1）e^2x-2+2x-2f（0），
∴f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1，
∴f（x）=e^2x+x²-2x，
設(shè)F（x）=e^2xg（x），
F′（x）=g′（x）e^2x+2g（x）e^2x=e^2x[g′（x）+2g（x）]，
∵e^2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，
F′（x）＜0恒成立，
∴F（2015）＞F（2017），
f（2）=e⁴，
e^2×2015g（2015）＞e^2×2017g（2017），
∴g（2015）＞e⁴g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），
故答案選：D．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)已知條件構(gòu)造出輔助函數(shù)，屬于中檔題．