Question

16．若函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象與x軸相切于一點(diǎn)A（m，0）（m≠0），且f（x）的極大值為$\frac{1}{2}$，則m的值為（　�。�

• A． $-\frac{2}{3}$
• B． $-\frac{3}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組，求出a，b，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的極大值，得到關(guān)于m的方程，解出即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）的圖象與x軸相切于一點(diǎn)A（m，0）（m≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3m}^{2}+2am+b=0}\\{{m}^{2}+am+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2m}\\{b{=m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=（3x-m）（x-m），
m＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞m或x＜$\frac{m}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{m}{3}$＜x＜m，
∴f（x）在（-∞，$\frac{m}{3}$）遞增，在（$\frac{m}{3}$，m）遞減，在（m，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（$\frac{m}{3}$）=$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{3}{2}$，
m＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＜m或x＞$\frac{m}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{m}{3}$＞x＞m，
∴f（x）在（-∞，m）遞增，在（m，$\frac{m}{3}$）遞減，在（$\frac{m}{3}$，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（m）=$\frac{1}{2}$，而f（m）=0，不成立，
綜上，m=$\frac{3}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．