Question

14．用a，b，c分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，R表示△ABC的外接圓半徑．
（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的長(zhǎng)；
（2）在△ABC中，若∠C是鈍角，求證：a²+b²＜4R²；
（3）給定三個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，R，其中b≤a，問(wèn)a，b，R滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，以a，b為邊長(zhǎng)，R為外接圓半徑的△ABC不存在，存在一個(gè)或存在兩個(gè)（全等的三角形算作同一個(gè)）？在△ABC存在的情況下，用a，b，R表示c．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可sinA，b，利用大邊對(duì)大角可得A為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，利用正弦定理即可得解AB的值．
（2）利用余弦定理推出a²+b²＜c²，利用正弦定理推出a²+b²＜4R²．
（3）分類(lèi)討論判斷三角形的形狀與兩邊a，b的關(guān)系，以及與直徑的大小的比較，分類(lèi)討論即可．

解答 解：（1）∵R=2，a=2，B=45°，
∴由正弦定理可得：$\frac{2}{sinA}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{c}{sinC}=4$，解得：sinA=$\frac{1}{2}$，b=2$\sqrt{2}$，
又∵a＜b，可得：A＜B，可得cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴AB=c=4sinC=4×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
證明：（2）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∵C為鈍角，可得cosC＜0，
∴a²+b²＜c²（9分）
又∵由正弦定理得c=2RsinC＜2R，
∴c²＜4R²，
∴a²+b²＜4R²．
解：（3）①a＞2R≥b或a≥b≥2R時(shí)，不存在；
②當(dāng)a=2R且b＜2R時(shí)，A=90°，存在一個(gè)，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$；
③當(dāng)a=b＜2R，∠A=∠B且都是銳角sinA=sinB=$\frac{a}{2R}$時(shí)，△ABC存在且只有一個(gè)，c=2RsinC=$\frac{a}{R}$$\sqrt{4{R}^{2}-{a}^{2}}$；
④當(dāng)b＜a＜2R，存在兩個(gè)，c=$\frac{a\sqrt{4{R}^{2}-^{2}}±b\sqrt{4{R}^{2}-{a}^{2}}}{2R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了三角形形狀的判斷，解三角形，三角形的外接圓等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，尤其是第三問(wèn)需要根據(jù)a，b兩邊以及直徑的大小比較確定三角形的形狀．再在這種情況下求第三邊的表達(dá)式，本解法主觀性較強(qiáng)．難度較大．