Question

過坐標原點作曲線y=lnx的切線l，該切線l與曲線y=lnx及x軸圍成圖形為D．
（1）求切線l的方程．
（2）求區(qū)域D的面積S．

Answer 1

考點：定積分在求面積中的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）設出切點的坐標，根據設出的切點坐標和原點求出切線的斜率，同時由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，進而得到切點坐標，根據切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可；
（2）利用定積分表示面積，即可得出結論．

解答： 解：（1）設切點坐標為（a，lna），
由切線過（0，0），得到切線的斜率k=

lna

a

，
又f′（x）=

1

x

，把x=a代入得：斜率k=f′（a）=

1

a

，
所以

lna

a

=

1

a

，得到lna=1，解得a=e，
則切點坐標為（e，1），
所以切線方程為：y=

1

e

x；
（2）S=

1

2

•1•

1

e

+

∫

e 1

(

1

e

x-lnx)dx=

1

2e

+（

1

2e

x2-xlnx+x）

|

e 1

=

e

2

-1．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，考查定積分知識，同時考查了運算求解的能力．