Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求函數(shù)f（x）的極小值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
得f（2）=-2，且f'（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲線y=-x（x-1）²在點(diǎn)（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．        
（2）f'（x）=-3x²+12x-9=-（3x-3）（x-3）．
令f'（x）=0，解得x=1或x=3．      
若a=3，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的正負(fù)如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1），且f（1）=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．