Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當a=3時，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當a=3時，求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值和導數(shù)之間的關(guān)系求函數(shù)f（x）的極小值．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
得f（2）=-2，且f'（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲線y=-x（x-1）²在點（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．        
（2）f'（x）=-3x²+12x-9=-（3x-3）（x-3）．
令f'（x）=0，解得x=1或x=3．      
若a=3，當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1），且f（1）=-4．

點評：本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用以及導數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．