Question

19．為了解市場(chǎng)上某品牌中性筆替芯的質(zhì)量情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100支進(jìn)行研究，其中合格品為80支．
（1）根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量按分層抽樣的方法從這100只中抽取10支，甲，乙同學(xué)從抽出的10支中隨機(jī)取3支，求恰有2支合格的概率．
（2）以隨機(jī)抽取的100支中合格品的頻率作為該產(chǎn)品的合格率，甲乙兩同學(xué)分別在市場(chǎng)上購得該品牌替芯2支，設(shè)兩人購得的合格品數(shù)分別為x，y，記隨機(jī)變量X=|x-y|，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由題意抽出的10支替芯中，合格品有8支，由此能求出甲，乙同學(xué)從抽出的10支中隨機(jī)取3支，恰有2支合格的概率．
（2）由題意，該替芯的合格率P=$\frac{4}{5}$，設(shè)P_i表示甲（乙）購得i（i=0，1，2）支合格品的概率，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和EX．

解答 解：（1）由題意抽出的10支替芯中，合格品有8支，
則甲，乙同學(xué)從抽出的10支中隨機(jī)取3支，恰有2支合格的概率P=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$．
（2）由題意，該替芯的合格率P=$\frac{4}{5}$，
設(shè)P_i表示甲（乙）購得i（i=0，1，2）支合格品的概率，
則P₀=（$\frac{1}{5}$）²=$\frac{1}{25}$，
P₁=2×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{8}{25}$，
P₂=$（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{16}{25}$，
隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=${{P}_{0}}^{2}+{{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}$=$\frac{321}{625}$，
P（X=1）=2P₀•P₁+2P₁P₂=$\frac{272}{625}$，
P（X=2）=2P₀•P₂=$\frac{32}{625}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{321}{625}$	$\frac{272}{625}$	$\frac{32}{625}$

EX=$0×\frac{321}{625}+1×\frac{272}{625}+2×\frac{32}{625}$=$\frac{336}{625}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分層抽樣的性質(zhì)的合理運(yùn)用．