Question

19．下列敘述中：
①若min{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}{m（m≤n）}\\{n（m＞n）}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）=min{x${\;}^{\frac{1}{3}}$，2^x-2，1-3x}存在最大值；
②設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$（x≠±1），則f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=0；
③設(shè)集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（x∈A）}\\{-2x+2（x∈B）}\end{array}\right.$，若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，則x₀的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
④設(shè)函數(shù)y=f（x）為函數(shù)y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的反函數(shù)，且y=f（-x²-ax+1）在x∈（2，3）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a∈[-4，-$\frac{8}{3}$）；
⑤若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a（x＜1）}\\{4（x-a）（x-2a），（x≥1）}\end{array}\right.$恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1）∪[2，+∞）．
所有正確敘述的序號(hào)是①②③⑤．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=min{x${\;}^{\frac{1}{3}}$，2^x-2，1-3x}的圖象可判斷①；根據(jù)f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，可判斷②；畫出函數(shù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（x∈A）}\\{-2x+2（x∈B）}\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷③；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷④；討論滿足函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a（x＜1）}\\{4（x-a）（x-2a），（x≥1）}\end{array}\right.$恰有2個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a的取值范圍，可判斷⑤．

解答 解：函數(shù)f（x）=min{x${\;}^{\frac{1}{3}}$，2^x-2，1-3x}的圖象如下圖所示：

由圖可得，函數(shù)存在最大值，故①正確；
函數(shù)f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$（x≠±1），則f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
故f（2）+f（3）+f（4）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=0，故②正確；
設(shè)集合A=[0，$\frac{1}{2}$），B=[$\frac{1}{2}$，1]，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（x∈A）}\\{-2x+2（x∈B）}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

若f[f（x₀）]∈A，則f（x₀）∈（$\frac{3}{4}$，1]，
又由x₀∈A，故x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），故③正確；
函數(shù)y=f（x）為函數(shù)y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的反函數(shù)，則f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$；
若y=f（-x²-ax+1）在x∈（2，3）上單調(diào)遞增，
則x∈（2，3）時(shí)，t=-x²-ax+1為減函數(shù)，且t＞0恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}-\frac{a}{2}≤2\\-9-3a+1≥0\end{array}\right.$，解得：a∈[-4，-$\frac{8}{3}$]，故④錯(cuò)誤；
設(shè)h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），
若在x＜1時(shí)，h（x）=2^x-a與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
所以a＞0，并且當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=2-a＞0，所以0＜a＜2，
而函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1，且a＜1，
所以$\frac{1}{2}$≤a＜1，
若函數(shù)h（x）=2^x-a在x＜1時(shí)，與x軸沒有交點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）與x軸無交點(diǎn)，g（x）無交點(diǎn)，所以不滿足題意（舍去），
當(dāng)h（1）=2-a≤0時(shí)，即a≥2時(shí)，g（x）的兩個(gè)交點(diǎn)滿足x₁=a，x₂=2a，都是滿足題意的，
綜上所述a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪[2，+∞），故⑤正確；
故正確的命題有：①②③⑤，
故答案為：①②③⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值，函數(shù)求值，分段函數(shù)的應(yīng)用，反函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題．