Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+2sin²x（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，$\frac{3}{2}$）．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值；
（2）設(shè)角C為銳角，△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若x=C是曲線(xiàn)y=f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，a+b=6，求邊c的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，$\frac{3}{2}$）．求出φ，利用二倍角、和與差和輔助角公式化簡(jiǎn)f（x），將內(nèi)層函數(shù)作為整體，求出范圍，即可得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值；
（2）求出f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，可得出C（注意C為銳角），根據(jù)△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，a+b=6，利用余弦定理求出
邊c的長(zhǎng)．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+2sin²x，
∵圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，$\frac{3}{2}$）．
∴$\frac{3}{2}$=sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）+2sin²$\frac{π}{6}$，
得：sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值為$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
其對(duì)稱(chēng)軸方程為：2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∵x=C是曲線(xiàn)y=f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸，即2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，C為銳角，k∈Z，
∴C=$\frac{π}{3}$．
又∵△ABC的面積為2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC，
可得ab=8，a+b=6．
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，得：c²=（a+b）²-2ab-2abcosC=12
∴c=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和計(jì)算能力，三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，余弦定理的計(jì)算．屬于中檔題．