Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，斜率為1的直線與拋物線交于點(diǎn)，，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于不同于的兩點(diǎn)、，若直線，分別交直線于兩點(diǎn)，求取最小值時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）直曲聯(lián)立表示出拋物線弦長(zhǎng)，得到關(guān)于的方程，求出，得到拋物線的方程.

（2）直線與拋物線聯(lián)立，得到、，再根據(jù)題意，得到點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，用和表示出，代入、的關(guān)系，得到函數(shù)，求出最小值.從而得到直線的方程.

（1），直線的方程為，

由，聯(lián)立，

得，，

，

，

拋物線的方程為：.

（2）設(shè)，，直線的方程為：，

聯(lián)立方程組消元得：，

∴，.

∴ .

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組解得，

又，∴.

同理得.

∴ .

令，，則.

∴ .

∴當(dāng)即時(shí)，取得最小值.

此時(shí)直線的方程為，即.