Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓，拋物線的焦點是的一個頂點，設是上的動點，且位于第一象限，記在點處的切線為.

（1）求的值和切線的方程（用表示）

（2）設與交于不同的兩點，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點.

（i）求證：點在定直線上;

（ii）設與軸交于點，記的面積為，的面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），切線方程為（2）（�。┳C明見解析（ⅱ）的最大值為

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的方程可求出過的定點，按照拋物線的標準方程即可求出的值；利用在點處的導數(shù)可求出直線的斜率，利用點斜式即可求出直線方程.（2）（i）利用點差法求出，寫出直線OD的方程，代入，可求出為定值，即可證明. （ii）中，為底，點的橫坐標為高，用表示三角形的面積，中，為底，到的距離為高，依然用表示三角形的面積，換元求最值即可.

解：（I）由題意可得，，所以拋物線的焦點F為，則，.

直線的斜率為，所以切線方程，利用化簡可得：.

（2）（i）證明：設，

由點差法可得，，即有，

直線OD的方程為，當時，可得即有點M在定直線上；（ii）直線l的方程為，令，可得，

則，

則令，

則

當，即時，取得最大值