Question

在△ABC中，中線長AM=2．
（1）若

OA

=-2

OM

，求證：

OA

+

OB

+

OC

=0；
（2）若P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PA

•（

PB

+

PC

）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的加法及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，利用向量的平行四邊形法則可得

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)，再利用

OA

=-2

OM

，即可證明．
（2）設(shè)|

AP

|=x，則|

PM

|=2-x，（0≤x≤2）．由點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，可得

PB

+

PC

=2

PM

．于是

PA

•（

PB

+

PC

）=2

PA

•

PM

=-2|

PA

|•|

PM

|=2（x-1）²-2，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： （1）證明：∵點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，∴

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)，
∵

OA

=-2

OM

，∴

OA

+

OB

+

OC

=-2

OM

+2

OM

=

0

．
（2）解：設(shè)|

AP

|=x，則|

PM

|=2-x，（0≤x≤2）．
∵點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，
∴

PB

+

PC

=2

PM

．
∴

PA

•（

PB

+

PC

）=2

PA

•

PM

=-2|

PA

|•|

PM

|
=-2x（2-x）=2（x²-2x）
=2（x-1）²-2，
當(dāng)x=1時(shí)，

PA

•（

PB

+

PC

）取得最小值-2．

點(diǎn)評：本題考查了向量的平行四邊形法則、向量的數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．