Question

設函數(shù)f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]，定義 f¹（x）=f（x），…，fⁿ（x）=f（f^n-1（x）），n=1，
2，3，…．函數(shù)g（x）=fⁿ（x）-x有8個零點．則n=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由已知條件x的取值范圍，進行分類討論，由此能求出n的值，

解答： 解：由題意知，
（1）當x∈[0，

1

2

]時，f¹（x）=f（x）=1-|2x-1|=2x，
①當x∈[0，

1

4

]時，f²（x）=1-|4x-1|=4x．
（i）當x∈[0，

1

8

]時，f³（x）=1-|8x-1|=8x，
此時，g（x）=f³（x）-x=7x，有零點x₁=0．
（ii）當x∈（

1

8

，

1

4

]時，f³（x）=1-|8x-1|=2-8x，
此時，g（x）=f³（x）-x=2-9x，有零點x2=

2

9

．
②當x∈（

1

4

，

1

2

]時，f²（x）=1-|4x-1|=2-4x，
（i）當x∈[

1

4

，

3

8

]時，f³（x）=1-|4-8x-1|=8x-2，
此時，g（x）=f³（x）-x=7x-2，有零點x3=

2

7

．
（ii）當x∈[

3

8

，

1

2

）時，f³（x）=1-|4-8x-1|=4-8x，
此時，g（x）=f³（x）-x=4-9x，有零點x4=

4

9

．
（2）當x∈（

1

2

，1）時，f¹（x）=f（x）=1-|2x-1|=2-2x，
①當x∈（

1

2

，

3

4

]時，f²（x）=1-|4-4x-1|=4x-2，
（i）當x∈（

1

2

，

5

8

]時，f³（x）=1-|8x-4-1|=8x-4，
此時，g（x）=f³（x）-x=7x-4，有零點x₅=

4

7

．
（ii）當x∈（

5

8

，

3

4

]時，f³（x）=1-|8x-4-1|=6-8x，
此時，g（x）=f³（x）-x=6-9x，有零點x₆=

2

3

．
②當x∈（

3

4

，1]時，f²（x）=1-|4-4x-1|=4-4x，
（i）當x∈（

3

4

，

7

8

]時，f³（x）=1-|8-8x-1|=8x-6，
此時，g（x）=f³（x）-x=7x-6，有零點x₆=

6

7

．
（ii）當x∈（

7

8

，1]時，f³（x）=1-|8-8x-1|=8-8x，
此時，g（x）=f³（x）-x=8-9x，有零點x₈=

8

9

．
綜上所述，若函數(shù)g（x）=fⁿ（x）-x有8個零點．則n=3．
故答案為：3．

點評：本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．