Question

6．已知數列{a_n}滿足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1}\end{array}\right.$，若a₁=$\frac{6}{7}$，試求a₂₀₁₅+a₂₀₁₆．

Answer 1

分析 直接由數列遞推式分段求出數列的前幾項，可得數列{a_n}是周期為3的周期數列，則答案可求．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a}_{n}-1，\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1}\end{array}\right.$，且a₁=$\frac{6}{7}$，得：
${a}_{2}=2{a}_{1}-1=2×\frac{6}{7}-1=\frac{5}{7}$，${a}_{3}=2{a}_{2}-1=2×\frac{5}{7}-1=\frac{3}{7}$，
${a}_{4}=2{a}_{3}-1=2×\frac{3}{7}=\frac{6}{7}$，${a}_{5}=2{a}_{4}-1=2×\frac{6}{7}-1=\frac{5}{7}$，…，
由上可知，數列{a_n}是周期為3的周期數列，
∴${a}_{2015}={a}_{2}=\frac{5}{7}$，${a}_{2016}={a}_{3}=\frac{3}{7}$．
則a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=$\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了分段函數的應用，是基礎題．