Question

19．已知集合A={a|ax²+4x-1≥-2x²-a，對(duì)于?x∈R恒成立}，集合B={x|x²-（2m+1）x+m（m+1）＜0}，若A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由ax²+4x-1≥-2x²-a對(duì)于?x∈R恒成立求出a的范圍化簡(jiǎn)集合A，求解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合B，結(jié)合A∩B≠∅，借助于兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：ax²+4x-1≥-2x²-a對(duì)于?x∈R恒成立，即（a+2）x²+4x+a-1≥0對(duì)于?x∈R恒成立，
當(dāng)a=-2時(shí)，不等式變?yōu)?x≥3對(duì)于?x∈R恒成立，顯然不正確；
當(dāng)a≠-2時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞0}\\{△={4}^{2}-4（a+2）（a-1）≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥2．
∴A={a|ax²+4x-1≥-2x²-a，對(duì)于?x∈R恒成立}={a|a≥2}，
又B={x|x²-（2m+1）x+m（m+1）＜0}={x|m＜x＜m+1}，且A∩B≠∅，
如圖，

∴m+1＞2，即m＞1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．