Question

7．已知a、b為正實數(shù)，且a+b=2，則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2+2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{3+\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2+3\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{6+2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 求得a的范圍為（0，2），將b用a表示，將原式化為1+$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$=1+$\frac{1}{3}$（a+3-a）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$），展開后運用基本不等式，即可得到最小值，注意求得等號成立的條件．

解答 解：a、b為正實數(shù)，且a+b=2，即有0＜a＜2，b=2-a，
則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$=$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{（2-a）^{2}}{3-a}$=a+$\frac{2}{a}$+1-a+$\frac{1}{3-a}$
=1+$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$=1+$\frac{1}{3}$（a+3-a）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$）
=1+$\frac{1}{3}$（3+$\frac{a}{3-a}$+$\frac{2（3-a）}{a}$）
≥2+$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{\frac{a}{3-a}•\frac{2（3-a）}{a}}$=2+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{3-a}$=$\frac{2（3-a）}{a}$，即a=6-3$\sqrt{2}$，b=3$\sqrt{2}$-4．取得等號．
則最小值為$\frac{6+2\sqrt{2}}{3}$．
故選D．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形，變量分離和轉(zhuǎn)化思想和乘1法，考查運算能力，屬于中檔題．