Question

設(shè)不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)b_n=2ⁿf（n），S_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求S_n；
（3）記Tn=

f(n)f(n+1)

2n

，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）據(jù)可行域，求出當(dāng)x=1，x=2時(shí)，可行域中的整數(shù)點(diǎn)，分別求出f（1），f（2），f（n）．
（2）由于數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減的方法求出數(shù)列的和．
（3）求出

Tn+1

Tn

，據(jù)它的符號(hào)判斷出T_n的單調(diào)性，求出T_n的最大值，令m大于等于最大值即可．

解答：解：畫(huà)出

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

的可行域

（1）f（1）=2+1=3
f（2）=3+2+1=6
當(dāng)x=1時(shí)，y=2n，可取格點(diǎn)2n個(gè)；當(dāng)x=2時(shí)，y=n，可取格點(diǎn)n個(gè)
∴f（n）=3n
（2）由題意知：b_n=3n•2ⁿ
S_n=3•2¹+6•2²+9•2³+…+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ
∴2S_n=3•2²+6•2³+…+3（n-1）•2ⁿ+3n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=3•2¹+3•2²+3•2³+…3•2ⁿ-3n•2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹
=3•

2-2n+1

1-2

-3n2n+1
=3（2ⁿ⁺¹-2）-3nⁿ⁺¹
∴-S_n=（3-3n）2ⁿ⁺¹-6
S_n=6+（3n-3）2ⁿ⁺¹
（3）Tn=

f(n)f(n+1)

2n

=

3n(3n+3)

2n

∵ Tn+1 Tn = (3n+3)(3n+6) 2n+1 3n(3n+3) 2n = n+2 2n 當(dāng)n=1時(shí)， n+2 2n ＞1 當(dāng)n=2時(shí)， n+2 2n =1 當(dāng)n≥3時(shí)， n+2 2n ＜1

∴T₁＜T₂=T₃＞T₄＞…＞T_n
故T_n的最大值是T₂=T₃=

27

2

∴m≥

27

2

．

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，先求出數(shù)列的通項(xiàng)，據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇合適的求和方法；解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題只能通過(guò)判斷相鄰項(xiàng)的差的符號(hào)或相鄰項(xiàng)的比與1的大�。�