Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，若點A_n（n，$\frac{S_n}{n}}$）在函數(shù)f（x）=-x+c的圖象上運動，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)且a₁=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=tana_n+1•tana_n，tan195+tan3=atan2，求數(shù)列{b_n}的前99項和（用含a的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由點A_n（n，$\frac{S_n}{n}}$）在函數(shù)f（x）=-x+c的圖象上運動，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，即S_n=-n²+cn，由于c是與x無關(guān)的常數(shù)且a₁=3．代入可得c，再利用遞推關(guān)系即可得出．
（II）由tan（a_n+1-a_n）=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{1+tan{a}_{n+1}tan{a}_{n}}$，可得b_n=tana_n+1•tana_n=-$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan2}$-1．即可得出．

解答 解：（1）∵點A_n（n，$\frac{S_n}{n}}$）在函數(shù)f（x）=-x+c的圖象上運動，∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，∴S_n=-n²+cn，
∵c是與x無關(guān)的常數(shù)且a₁=3．∴3=-1+c，解答c=4．
∴S_n=-n²+4n．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-n²+4n-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5，n=1時也成立．
（II）∵tan（a_n+1-a_n）=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{1+tan{a}_{n+1}tan{a}_{n}}$，∴b_n=tana_n+1•tana_n=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan（-2）}$-1=-$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan2}$-1．
∴數(shù)列{b_n}的前99項和T₉₉=-$\frac{1}{tan2}[（tan{a}_{100}-tan{a}_{99}）$+（tana₉₉-tana₉₈）+…+（tana₂-tana₁）]-99
=-$\frac{tan（-195）-tan3}{tan2}$-99
=a-99．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、遞推關(guān)系、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．