Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）若當(dāng)時(shí)取得極值，求a的值，并討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于.

請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)請寫清題號(hào)。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少.                           

（Ⅱ）若，，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無極值.

若，，也無極值

【解析】解：

（Ⅰ），

依題意有，故，                                    ……2分

從而.

的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811075156252584/SYS201205181108531718349509_DA.files/image022.png">. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少.                                     ……5分

（Ⅱ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811075156252584/SYS201205181108531718349509_DA.files/image023.png">，.

方程的判別式.

（ⅰ）若，即，在的定義域內(nèi)，故無極值.

（ⅱ）若，則或.

若，，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無極值.

若，，也無極值.       ……7分

（ⅲ）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根

.

當(dāng)時(shí)，. 從而在的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故無極值.

當(dāng)時(shí)，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由極值判別方法知在取得極值.

綜上，存在極值時(shí)，a的取值范圍為.                  ……10分

的極值之和為

.                 ……12分