Question

一個多面體的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖）如圖所示，M，N分別是B₁C₁，A₁B的中點．
（1）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁BC；
（3）若這個多面體的六個頂點A，B，C，A₁，B₁，C₁都在同一個球面上，求這個球的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖的性質(zhì)，可得該幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁．連接AC₁，AB₁，矩形ABB₁A₁中對角線AB₁的中點N就是A₁B的中點．結(jié)合M是B₁C₁的中點證出MN∥AC₁，由線面平行的判定定理，證出MN∥平面ACC₁A₁．
（2）由BC⊥平面ACC₁A₁，得到BC⊥AC₁．正方形ACC₁A₁中可得A₁C⊥AC₁，結(jié)合線面垂直判定定理，證出AC₁⊥平面A₁BC，再由MN∥AC₁，可得MN⊥平面A₁BC；
（3）根據(jù)三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，在矩形ABB₁A₁中算出可得A₁B=

3

a，從而得到NA=NB=NA1=

3

2

a，同理得NC=NB1=NC1=

3

2

a，所以點N是多面體的外接球心，得到半徑R=

3

2

a．由球的體積公式，即可算出該外接球的體積．

解答：解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁，
（Ⅰ）連接AC₁，AB₁，由直三棱柱的性質(zhì)，得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁B₁，可得四邊形ABB₁A₁為矩形．
由矩形的性質(zhì)，得AB₁過A₁B的中點N．
在AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得MN∥AC₁，
又∵AC₁?平面ACC₁A₁MN?平面ACC₁A₁，∴MN∥平面ACC₁A₁．…（4分）
（Ⅱ）∵BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，可得A₁C⊥AC₁
又∵BC∩A₁C=C，∴AC₁⊥平面A₁BC
又∵MN∥AC₁，∴MN⊥平面A₁BC…（8分）
（Ⅲ）∵多面體為直三棱柱，
∴矩形ABB₁A₁中，A1B2=AA12+AB2=a2+(

2

a)2=3a2
可得A₁B=

3

a，
∵AN是直角三角形斜邊的中線，∴NA=NB=NA1=

3

2

a
同理可得NC=NB1=NC1=

3

2

a
∴N是這個多面體的外接球的球心，半徑R=

3

2

a…（10分）
∴外接球的體積V=

4

3

π(

3

2

a)3=

3

2

πa³…（14分）

點評：本題給出直三棱柱的三視圖，求證線面平行、線面垂直并求外接球的體積．著重考查了三角形中位線定理、線面平行垂直的判定與性質(zhì)和球的體積公式等知識，屬于中檔題．