Question

4．已知數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前n項和為$\frac{n（n-3）}{2}$，若存在n∈N^*，使得a_n≥m成立，則m的取值范圍是$m≤\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由$2{a}_{1}+{2}^{2}{a}_{2}$+…+2ⁿa_n=$\frac{n（n-3）}{2}$，利用遞推關系可得：n≥2時，${a}_{n}=\frac{n-2}{{2}^{n}}$；n=1時，a₁=-1．通過作差可得數(shù)列的單調(diào)性．

解答 解：∵$2{a}_{1}+{2}^{2}{a}_{2}$+…+2ⁿa_n=$\frac{n（n-3）}{2}$，
∴n≥2時，$2{a}_{1}+{2}^{2}{a}_{2}$+…+2^n-1a_n-1=$\frac{（n-1）（n-4）}{2}$，
可得：2ⁿa_n=$\frac{n（n-3）}{2}$-$\frac{（n-1）（n-4）}{2}$=n-2，
∴${a}_{n}=\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
n=1時，a₁=-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{n-2}{{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$．
∵n=1時，a₁=-1，a₂=0．
n≥2時，a_n+1-a_n=$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n+1}}$，
∴n=2時，a₂＜a₃；n=3時，a₃=a₄；n≥4時，a_n+1＜a_n，
因此：a₁＜a₂＜a₃=a₄＞a₅＞…，
∴當n=3或4時，a_n取得最大值，a₃=a₄=$\frac{1}{8}$．
∵存在n∈N^*，使得a_n≥m成立，則m$≤\frac{1}{8}$．
故答案為：$m≤\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．