Question

11．證明：函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$與函數(shù)g（x）=x的圖象不相交．

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$-x（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)法，可得F（x）的最大值為-1，即F（x）＜0恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 證明：令F（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$-x（x＞0），
則F′（x）=$\frac{x+1-2x\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}$，
令F′（x）=0，則x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取最大值-1，
故F（x）＜0恒成立，
即函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$與函數(shù)g（x）=x的圖象不相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，其中根據(jù)導(dǎo)數(shù)法，分析出F（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$-x（x＞0）的最大值為-1，是解答的關(guān)鍵．