Question

2．設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b，若方程f（f（x））=0有4個不同的實(shí)根，其中有兩個根的和等于-1，則b的取值范圍是-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)t=x²+ax+b，則有：t²+at+b=0，且此一元二次方程有兩個不相等的實(shí)根．則有：a²-4b＞0，即：b＜$\frac{1}{4}{a}^{2}$．同理：t=x²+ax+b，即x²+ax+b-t=0也有兩個不相等的實(shí)根．再結(jié)合方程f（f（x））=0有4個不同的實(shí)根，其中有兩個根的和等于-1，分類討論，可得b的取值范圍．

解答 解：設(shè)t=x²+ax+b，則有：t²+at+b=0，
且此一元二次方程有兩個不相等的實(shí)根．則有：a²-4b＞0，即：b＜$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
同理：t=x²+ax+b，即x²+ax+b-t=0也有兩個不相等的實(shí)根．
則有a²-4（b-t）＞0，即b-t＜$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
由函數(shù)f（x）=x²+ax+b，y=x²+ax+b-t的圖象對稱軸均為x=-$\frac{a}{2}$，
設(shè)方程f（f（x））=0的四個根從小到大依次為：x₁，x₂，x₃，x₄，
則x₁+x₄=-a，x₂+x₃=-a，
則為了滿足有2個根的和等于-1，則根的范圍為x₃+x₄≥-1或x₁+x₂≤-1．
只有4個根在這個范圍內(nèi)，才有可能存在兩個根的和等于-1．
即-2a-（x₁+x₂）≥-1，x₁+x₂≤-1，則a=1．
而可知：t²+at+b=0．
則t₁+t₂=-1，t₁•t₂=b，即-（1+t₁）t₁1=b，-（1+t₂）t₂=b，
而x²+ax+b-t=0，知：x₁+x₄=-1，x₁•x₄=b-t₂＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，x₂+x₃=-1，x₂•x₃=b-t₁＜$\frac{{a}^{2}}{4}$．
則有：x₁•x₄=b-t₂=t₂²-2t₂≥-1，同理x₂•x₃≥-1．
即-1≤x₁•x₄＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，-1≤x₂•x₃＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，其中a=1．
x₁•x₄+x₂•x₃=2b+1．
由-2≤2b+1＜$\frac{1}{2}$，則-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$．
則當(dāng)b=-$\frac{1}{4}$時(shí)，t=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，
此時(shí)x²+ax+b-t=0，當(dāng)t=$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$時(shí)，即：x²+x+$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，顯然無解．則此時(shí)方程只有2個根．
所以答案是b≤-$\frac{1}{4}$的話，b=-$\frac{1}{4}$時(shí)，無法成立．
綜上：-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{2}$≤b＜-$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．