Question

5．（普通中學做）已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P（0，2），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試問是否存在直線l：y=kx-$\frac{4}{3}$與橢圓C相交于不同的兩點M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓的焦點在x軸上，經(jīng)過P（0，2），即b=2，由離心率公式e=$\frac{c}{a}$，及a²=b²+c²，即可a和c的值，即可求得橢圓方程；
（2）假設存在直線，將直線方程代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，設出M和N點坐標及MN的中點坐標，由韋達定理可知，即可求得A點坐標，判斷當k=0時，成立，當k≠0．，求得直線AP的斜率，由MN⊥AP，得-$\frac{9{k}^{2}+5}{6k}$•k=-1，即可求得k的值．

解答 解：（1）∵橢圓C經(jīng)過點P（0，2），
∴b=2，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．即a²=$\frac{3}{2}$c²=$\frac{3}{2}$（a²-b²），整理得a²=3b²=12，
∴$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）假設存在直線l滿足條件，則：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{4}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+3k²）x²-8kx-$\frac{20}{3}$=0，△＞0恒成立，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設A（x₀，y₀）為線段MN的中點，則，
x₁+x₂=$\frac{8k}{1+3{k}^{2}}$，x₀=$\frac{4k}{1+3{k}^{2}}$，y₀=kx₀-$\frac{4}{3}$=-$\frac{4}{3（1+3{k}^{2}）}$，即A（$\frac{4k}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{4}{3（1+3{k}^{2}）}$），
當k=0時，滿足題意，
當k≠0時，直線AP的斜率k_AP=$\frac{-\frac{4}{3（1+3{k}^{2}）}-2}{\frac{4k}{1+3{k}^{2}}}$=-$\frac{9{k}^{2}+5}{6k}$，
由MN⊥AP，得-$\frac{9{k}^{2}+5}{6k}$•k=-1，解得：k=±$\frac{1}{3}$，
故直線的斜率為：k=0，$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程和簡單性質，中點公式、韋達定理及斜率公式的應用，屬于中檔題．