Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為：sinθ-2cosθ=0，直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|OA|＜|OB|．
（1）求圓C的普通方程和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1可把圓C的參數(shù)方程化為普通方程；利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可把直線(xiàn)l極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）過(guò)圓心C作CD⊥AB，垂足為D．可得點(diǎn)D到直線(xiàn)l的距離d，|OD|=$\sqrt{O{C}^{2}-t4hh46z^{2}}$，|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-x36gzfo^{2}}$，于是|OA|=|OD|-$\frac{1}{2}$|AB|，即可得出．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得：（x-2）²+（y-2）²=1，圓心C（2，2），半徑r=1．
直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為：sinθ-2cosθ=0，即ρsinθ-2ρcosθ=0，可得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程：y=2x．
（2）過(guò)圓心C作CD⊥AB，垂足為D．
點(diǎn)D到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|2×2-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
則|OD|=$\sqrt{O{C}^{2}-ctc7ckg^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-\frac{4}{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-anqravo^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|OA|=|OD|-$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、圓的參數(shù)方程、垂經(jīng)定理、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．