Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d，x∈R，F(xiàn)（x）=f（x）-f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若F（x）為奇函數(shù)，且F（1）=t，t為常數(shù)，t∈R．
（1）討論F（x）的單調(diào)性和極值；
（2）當(dāng)t=-26時，方程F（x）=m有三個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式求出f′（x）代入F（x）化簡，由奇函數(shù)的性質(zhì)和條件求出b、c、d，再求出F（x）和F′（x），對t分類討論并利用導(dǎo)數(shù)的符號，求出F（t）的單調(diào)性和對應(yīng)極值；
（2）把t=-26代入F（x）的解析式，由（1）可得F（x）的單調(diào)性和極值，再將方程的解轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=3x²+2bx+c，
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x+d-c，
∵F（x）是奇函數(shù)，∴b-3=0，且d-c=0，即b=3，d=c．
∴F（x）=x³+（c-6）x，
∵F（1）=t，∴1+（c-6）=t，則d=c=t+5，
則F（x）=x³+（t-1）x，即F′（x）=3x²+（t-1），
①當(dāng)t≥1時，F(xiàn)′（x）≥0，則F（x）在（-∞，+∞）上遞增，無極值；
②當(dāng)t＜1時，由F′（x）=0得，x=$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$或$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，
當(dāng)x∈（$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）時，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x∈（-∞，$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）或（$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，+∞）F′（x）＞0，
所以F（x）在（$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）上遞減，在（-∞，$-\sqrt{\frac{1-t}{3}}$）、（$\sqrt{\frac{1-t}{3}}$，+∞）上遞增，
則函數(shù)F（x）的極大值是$F（-\sqrt{\frac{1-t}{3}}）=-（\frac{1-t}{3}）^{3}+（t-1）×（-\sqrt{\frac{1-t}{3}}）=\frac{2}{9}（1-t）\sqrt{3（1-t）}$，
函數(shù)F（x）的極小值是$F（\sqrt{\frac{1-t}{3}}）=-\frac{2}{9}（1-t）\sqrt{3（1-t）}$；
（2）當(dāng)t=-26時，F(xiàn)（x）=x³-27x，
由（1）可知，F(xiàn)（x）在（-3，3）上單調(diào)遞減，在（-∞，-3）、（3，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)F（x）的極大值是F（-3）=54，函數(shù)F（x）的極小值是F（3）=-54，
因?yàn)榉匠蘁（x）=m有三個不同的實(shí)數(shù)解，
所以函數(shù)y=F（x）和y=m的圖象有三個不同的交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-54，54）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系，方程的根轉(zhuǎn)化問題，以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．