已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,數(shù)列{
bn
an
}的前n項(xiàng)和為1-
n+1
3n

(Ⅰ)求b1的值;
(Ⅱ)(i)b2=b1+2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(ii)記數(shù)列{
1
bnbn+1
}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn
1
2
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由已知得
b1
3
=1-
2
3
=
1
3
,由此能求出b1
(Ⅱ)(i)由已知得b2=3,
1
3
+
3
a2
=1-
3
9
=
2
3
,從而a2=9,進(jìn)而an=3n,再由
an
bn
=(1-
n+1
3n
)-(1-
n
3n-1
)=
2n-1
3n
,能求出bn=2n-1.
(ii)由
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,利用裂項(xiàng)求和法能證明Sn
1
2
解答: (Ⅰ)解:∵等比數(shù)列{an}滿足a1=3,
數(shù)列{
bn
an
}的前n項(xiàng)和為1-
n+1
3n

b1
3
=1-
2
3
=
1
3
,解得b1=1.
(Ⅱ)(i)解:∵b2=b1+2,b1=1,∴b2=3,
1
3
+
3
a2
=1-
3
9
=
2
3
,∴a2=9,
∵a1=3,且{an}是等比數(shù)列,∴an=3n,
an
bn
=(1-
n+1
3n
)-(1-
n
3n-1
)=
2n-1
3n
,n≥2,
∴bn=2n-1,n≥2,
∵b1=1,∴bn=2n-1.
(ii)證明:∵
1
bnbn+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

∴Sn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)

=
1
2
(1-
1
2n+1
)
1
2

∴Sn
1
2
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的首項(xiàng)的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
2
3
,且an+1=
1
3
an+2×(
1
3
n+1
(Ⅰ)求證:數(shù)列{3n•an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|,若a≠b,f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是(  )
A、(4
2
,+∞)
B、[4
2
,+∞)
C、(2
2
+3,+∞
D、[2
2
+3,+∞

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

y=tan(
π
4
+x)
的定義域是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P為圓A:(x+1)2+y2=12 上的動點(diǎn),點(diǎn)B(l,0).線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點(diǎn)T,記點(diǎn)TF軌跡為Γ.
(I)求曲線Γ的方程;
(Ⅱ)設(shè)M,N是Γ上的兩個動點(diǎn),MN的中點(diǎn)H在圓x2+y2=1上,求原點(diǎn)到MN距離的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[2,1]=2,[-2,1]=-3執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的S值為(  )
A、2B、3C、4D、5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線y=ax+2與圓x2+y2+2x-3=0相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)在直線y=2x上,且PA=PB,則x0的取值范圍為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
4
)-1.
(1)求函數(shù)f(x)的最大、最小值及取得最值時相應(yīng)的x的取值集合;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓O以原點(diǎn)為圓心,且過A(2
2
,1)
(1)求圓O的方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)且與圓O相切的直線方程
(3)求直線x+2y+c=0與圓O相交所截得的弦長是
12
5
5
,求c.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案