已知等比數(shù)列{a
n}滿足a
1=3,數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和為1-
.
(Ⅰ)求b
1的值;
(Ⅱ)(i)b
2=b
1+2,求數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式;
(ii)記數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和為S
n,求證:S
n<
.
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由已知得
=1-=
,由此能求出b
1.
(Ⅱ)(i)由已知得b
2=3,
+=1-=,從而a
2=9,進(jìn)而a
n=3
n,再由
=(1-
)-(1-
)=
,能求出b
n=2n-1.
(ii)由
=
=
(-),利用裂項(xiàng)求和法能證明S
n<.
解答:
(Ⅰ)解:∵等比數(shù)列{a
n}滿足a
1=3,
數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和為1-
,
∴
=1-=
,解得b
1=1.
(Ⅱ)(i)解:∵b
2=b
1+2,b
1=1,∴b
2=3,
∵
+=1-=,∴a
2=9,
∵a
1=3,且{a
n}是等比數(shù)列,∴a
n=3
n,
∵
=(1-
)-(1-
)=
,n≥2,
∴b
n=2n-1,n≥2,
∵b
1=1,∴b
n=2n-1.
(ii)證明:∵
=
=
(-),
∴S
n=
(1-+-+-+…+-)=
(1-)<.
∴S
n<.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的首項(xiàng)的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
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已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=
,且a
n+1=
a
n+2×(
)
n+1.
(Ⅰ)求證:數(shù)列{3
n•a
n}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和S
n.
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已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|,若a≠b,f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是( )
A、(4,+∞) |
B、[4,+∞) |
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D、[2+3,+∞) |
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若[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[2,1]=2,[-2,1]=-3執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的S值為( )
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已知直線y=ax+2與圓x
2+y
2+2x-3=0相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x
0,y
0)在直線y=2x上,且PA=PB,則x
0的取值范圍為
.
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已知函數(shù)f(x)=3sin(2x-
)-1.
(1)求函數(shù)f(x)的最大、最小值及取得最值時相應(yīng)的x的取值集合;
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科目:高中數(shù)學(xué)
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,1)
(1)求圓O的方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)且與圓O相切的直線方程
(3)求直線x+2y+c=0與圓O相交所截得的弦長是
,求c.
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