Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

2

3

，且a_n+1=

1

3

a_n+2×（

1

3

）ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{3ⁿ•a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）法一：令bn=3n•an，則bn+1-bn=3n+1•an+1-3n•an=2，由此能證明數(shù)列{3ⁿ•a_n}是公差為2的等差數(shù)列．
法二：由已知得3n+1•an+1=3n•an+2，由此能證明數(shù)列{3ⁿ•a_n}是公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由3ⁿ•a_n=3a₁+（n-1）×2=2n，得an=

2n

3n

，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證法一：令bn=3n•an，…（1分）
則bn+1-bn=3n+1•an+1-3n•an…（2分）
=3n+1(

1

3

an+2×(

1

3

)n+1)-3n•an…（3分）
=3n•an+2-3n•an=2…（4分）
∴數(shù)列{b_n}為公差為2的等差數(shù)列．
即數(shù)列{3ⁿ•a_n}是公差為2的等差數(shù)列．…（5分）
（Ⅰ）證法二：∵an+1=

1

3

an+2×(

1

3

)n+1，
∴3n+1•an+1=3n•an+2，…（3分）
∴3n+1•an+1-3n•an=2，…（4分）
∴數(shù)列{3ⁿ•a_n}是公差為2的等差數(shù)列．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：數(shù)列{3ⁿ•a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴3ⁿ•a_n=3a₁+（n-1）×2=2n，
∴an=

2n

3n

．…（7分）
∴S_n=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

，①

1

3

Sn=

2

32

+

4

33

+

6

34

+…+

2n

3n+1

，②
①-②，得：

2

3

Sn=

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n

3n+1

，
∴S_n=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n

3n

=

1×(1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n

=

3

2

-

2n+3

2×3n

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．