【題目】已知數(shù)列滿足:,,且(n=1,2,...).記
集合
(1)(Ⅰ)若,寫出集合M的所有元素;
(2)(Ⅱ)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);
(3)(Ⅲ)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】
(1)

{6,12,24}


(2)

證明:(Ⅱ)因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè) ak 是3的倍數(shù),由已知 ,可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意 n ≥ k , an 是3的倍數(shù),當(dāng) k = 1 時(shí),則M中的所有元素都是3的倍數(shù),如果 k > 1 時(shí),因?yàn)?ak = 2ak-1 或 2ak-1 -36 ,所以 2ak-1 是3的倍數(shù),于是 ak-1 是3的倍數(shù),類似可得, ak -2 . . . . . . a1 都是3的倍數(shù),從而對任意 n ≥ 1 , an 是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).


(3)

8


【解析】(Ⅰ)由已知可知:,因此。
(Ⅱ)因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)是3的倍數(shù),由已知,可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意,是3的倍數(shù),當(dāng)時(shí),則M中的所有元素都是3的倍數(shù),如果時(shí),因?yàn)?/span>,所以是3的倍數(shù),于是是3的倍數(shù),類似可得,都是3的倍數(shù),從而對任意,是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).
(III )由于M中的元素都不超過36,由,易得,類似可得,其次M中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外,都是4的倍數(shù),因?yàn)榈诙鐢?shù)必定為偶數(shù),由的定義可知,第三個(gè)數(shù)后面的數(shù)必定是4的倍數(shù),另外,M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知,除以9的余數(shù)一樣,
(1)若中有3的倍數(shù),由(2)知:所有都是3的倍數(shù),所以都是3的倍數(shù),所以除以9的余數(shù)為3,6,3,6,......,或6,3,6,3......,或0,0,0......,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12,除以9余6且是4的倍數(shù)只有24,除以9余0且是4的倍數(shù)只有36,則M中的數(shù)從第三項(xiàng)起最多2項(xiàng),加上前面兩項(xiàng),最多4項(xiàng)。
(2)若中沒有3的倍數(shù),則都不是3的倍數(shù),對于除以9的余數(shù)只能是1,4,7,2,5,8中的一個(gè),從起,除以9的余數(shù)是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,......,不斷的6項(xiàng)循環(huán)(可能從2,4,8,7或5開始),而除以9的余數(shù)是1,2,4,8,5且是4的倍數(shù)(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M中的項(xiàng)加上前兩項(xiàng)最多的8項(xiàng),則時(shí),,項(xiàng)數(shù)為8,所以集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握

  1. :A.n=1(或時(shí)成立,推的基礎(chǔ);B.設(shè)n=k時(shí)成立; C.n=k+1時(shí)也成立,完成兩步,就可以斷定任何自然數(shù)(n>=,)結(jié)論都成立

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位.且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=6sinθ.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2),求|PA|+|PB|的最小值.

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(1)求曲線 的極坐標(biāo)方程和直線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè) 向左平移 個(gè)單位長度后得到 , 的交點(diǎn)為 , ,求 的長.

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A.
B.
C.
D.

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(1)寫出數(shù)表的第六行(從左至右依次列出).

(2)設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為bnn≥2),bn

(3)令,記Tn為數(shù)列n項(xiàng)和,求的最大值,并求此時(shí)n的值.

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A.
B.
C.
D.

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