Question

3．設(shè)變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{4x-y-2≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a，b均大于0）的最大值為8，則a+b的最小值為2．

Answer 1

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件，畫出滿足約束條件的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，求出a，b的關(guān)系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．

解答 解：滿足約束條件的區(qū)域是一個(gè)四邊形，如下圖：

4個(gè)頂點(diǎn)是（0，0），（0，2），（$\frac{1}{2}$，0），（2，6），
由圖易得目標(biāo)函數(shù)在（2，6）取最大值8，
即8=2ab+6，∴ab=1，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，在a=b=2時(shí)是等號(hào)成立，
∴a+b的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．