Question

2．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m+6}$+$\frac{{y}^{2}}{m-7}$=1表示雙曲線，命題q：?x∈R，mx²+2mx+2m-1≤0．
（Ⅰ）若命題q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若p∨q為真，￢q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論及結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（Ⅱ）若p∨q為真，￢q為真，則p為真命題，q為假命題，建立不等式關(guān)系求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵命題q為真，
當(dāng)m＞0時(shí)，△=4m²-4m（2m-1）≥0，∴0≤m≤1，故0＜m≤1；
當(dāng)m=0時(shí)，-1≤0，符合題意；
當(dāng)m＜0時(shí)，?x∈R，mx²+2mx+2m-1≤0成立．
綜上，m≤1；
（Ⅱ）若命題p為真，則（m+6）（m-7）＜0，即-7＜m＜6．
∵若p∨q為真，￢q為真，
∴p為真命題，q為假命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{-6＜m＜7}\end{array}\right.$，解得1＜m＜7．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，7）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．