Question

已知圓O：x²+y²=4和點(diǎn)M（1，a）（a＞0）
（Ⅰ）若過點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求正實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程；
（Ⅱ）若a=

2

，過點(diǎn)M的圓的兩條弦互相垂直，設(shè)d₁，d₂分別為圓心到弦AC，BD的距離．
①求d₁²+d₂²的值；
②求兩弦長之積|AC|•|BD|的最大值．

Answer 1

分析：（I）由圓的性質(zhì)，可得點(diǎn)M在圓上，算出M的坐標(biāo)為（1，

3

）和切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡即可得到所求切線方程；
（II）①作OF⊥AC、OE⊥BD于F、E，可得如圖所示矩形OEMF，可得

d

2 1

+d

2 2

=|OM|2=3，且AC，BD中有一條過圓心時(shí)等式式也成立，由此得到d₁²+d₂²的值等于3；
②利用垂徑定理算出弦AC、BD長關(guān)于d₁、d₂的式子，再根據(jù)基本不等式求最值，即可算出|AC|•|BD|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知點(diǎn)M在圓上，
∴1+a²=4，且a＞0得a=

3

∵kOM=

3

，∴k=-

3

3

，
∴切線方程為y-

3

=-

3

3

(x-1)
化簡得x+

3

y-4=0，即為所求切線方程；
（Ⅱ）①當(dāng)AC，BD都不過圓心時(shí)，作OF⊥AC、OE⊥BD于F、E，
則可得OEMF為矩形，則

d

2 1

+d

2 2

=|OM|2，
結(jié)合M（1，

2

）得|OM|=

3

，可得d₁²+d₂²的值為3；
當(dāng)AC，BD中有一條過圓心時(shí)，上式也成立．
②根據(jù)題意，利用垂徑定理得
|AC|=2|AF|=2

4- d 2 1

，|BD|=2|BE|=2

4-d   2 2

∴|AC|•|BD|=4

(4- d 2 1 )•(4- d 2 2 )

≤4•

(4- d 2 1 )+(4- d 2 2 )

2

=10
（當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d₂時(shí)等號(hào)成立）
由此可得當(dāng)d₁=d₂=

6

2

時(shí)，即弦AC、BD的長相等時(shí)，|AC|•|BD|的最大值等于10．

點(diǎn)評：本題著重考查了圓的切線的性質(zhì)、直線的基本量與基本形式、垂徑定理求圓的弦長和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．