Question

12．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{π}{2x}$，g（x）=xcosx-sinx．當x∈[-3π，3π]時，方程f（x）=g（x）根的個數(shù)是6．

Answer 1

分析 先對兩個函數(shù)分析可知，函數(shù)f（x）與g（x）都是奇函數(shù)，且f（x）是反比例函數(shù)，g（x）在[0，π]上是減函數(shù)，在[π，2π]上是增函數(shù)，在[2π，3π]上是減函數(shù)，且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；從而作出函數(shù)的圖象，由圖象求方程的根的個數(shù)即可．

解答 解：g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx；
令g′（x）=0得x=kπ，k∈Z．
∴g（x）在[0，π]上是減函數(shù)，在[π，2π]上是增函數(shù)，在[2π，3π]上是減函數(shù)，
且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；
故作函數(shù)f（x）與g（x）在[0，3π]上的圖象如下，

結合圖象可知，兩圖象在[0，3π]上共有3個交點；
又f（x），g（x）都是奇函數(shù)，且f（x）不經(jīng)過原點，
∴f（x）與g（x）在[-3π，3π]上共有6個交點，故f（x）=g（x）有6個零點．
故答案為：6．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的圖象的性質應用，同時考查了函數(shù)的零點與方程的根的關系應用，屬于中檔題．