Question

（本小題滿分13分）對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，記，即為中的最大值，則稱是的“控制數(shù)列”，各項中不同數(shù)值的個數(shù)稱為的“控制階數(shù)”．

（Ⅰ）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為，寫出所有的；

（Ⅱ）若，，其中，是的控制數(shù)列，試用表示

的值；

（Ⅲ）在的所有全排列中，將每種排列視為一個數(shù)列，對于其中控制階數(shù)為2的所有數(shù)列，求它們的首項之和．

 

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）；（Ⅲ）154．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為1，3，3，5，可得；（Ⅱ）確定當時，總有時，總有．分類比較和的大小，即可得出結論．（Ⅲ）分別求出為1、2、3、4的數(shù)列的個數(shù)，即可得出結論．

試題解析：（Ⅰ）; ; ．3分

（Ⅱ）因為，

所以．

所以當時，總有．

又，．

所以．

故時，總有．

從而只需比較和的大小．

（1）當，即，即時，

是遞增數(shù)列，此時對一切均成立．

所以．

（2）當時，即，即時，

，，．

所以

．

綜上，原式 9分

（Ⅲ）．

首項為1的數(shù)列有個；

首項為2的數(shù)列有個；

首項為3的數(shù)列有個；

首項為4的數(shù)列有個；

所以，控制階數(shù)為2的所有數(shù)列首項之和． 13分．

考點：1．新定義；2．等差數(shù)列與等比數(shù)列．