Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x$．
（Ⅰ）求此函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\frac{5}{2}ln\frac{x}{{{x^2}+1}}$+f（x）+2x．是否存在直線y=kx（k∈R）與函數(shù)g（x）的圖象相切？若存在，請求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求此函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）假設(shè)存直線y=kx與函數(shù)g（x）的圖象相切于點(diǎn)（x₀，f（x₀））（x₀＞0），則這條直線可以寫成y-g（x₀）=g'（x₀）（x-x₀），與直線y=kx比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x$，
∴$f'（x）=\frac{5x}{{{x^2}+1}}-2$=$-\frac{{2{x^2}-5x+2}}{{{x^2}+1}}$=$-\frac{（2x-1）（x-2）}{{{x^2}+1}}$．…（2分）
令f'（x）≥0，得$-\frac{（2x-1）（x-2）}{{{x^2}+1}}≥0$，解之，得$\frac{1}{2}≤x≤2$；…（3分）
令f'（x）＜0，得$-\frac{（2x-1）（x-2）}{{{x^2}+1}}＜0$，解之，得$x＜\frac{1}{2}$，或x＞2．…（4分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[\frac{1}{2}，2]$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（-∞，\frac{1}{2}）$和（2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）∵$f（x）=\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x$，$g（x）=\frac{5}{2}ln\frac{x}{{{x^2}+1}}+f（x）+2x$，
∴$g（x）=\frac{5}{2}ln\frac{x}{{{x^2}+1}}+\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x+2x=\frac{5}{2}lnx$．
∴$g'（x）=\frac{5}{2x}$．…（6分）
假設(shè)存直線y=kx與函數(shù)g（x）的圖象相切于點(diǎn)（x₀，f（x₀））（x₀＞0），
則這條直線可以寫成y-g（x₀）=g'（x₀）（x-x₀）．…（7分）
∵$g（{x_0}）=\frac{5}{2}ln{x_0}$，$g'（{x_0}）=\frac{5}{{2{x_0}}}$，
∴$y-\frac{5}{2}ln{x_0}=\frac{5}{{2{x_0}}}（x-{x_0}）$．…（8分）
即$y=\frac{5}{{2{x_0}}}x+\frac{5}{2}ln{x_0}-\frac{5}{2}$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{{2{x_0}}}}\\{\frac{5}{2}ln{x_0}-\frac{5}{2}=0}\end{array}}\right.$…（9分）
解之，得$\left\{{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{2e}}\\{{x_0}=e}\end{array}}\right.$
∴存在直線y=kx與函數(shù)g（x）的圖象相切，k的值是$\frac{5}{2e}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．