Question

2．函數(shù)y=$\sqrt{3-4x+{x}^{2}}$的定義域?yàn)镸．
（1）求M和函數(shù)的值域；
（2）當(dāng)x∈M時(shí)，關(guān)于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，3-4x+x²≥0從而解出M={x|x≥3或x≤1}；再由配方，即可得到函數(shù)的值域；
（2）令f（x）=4^x-2^x+1，設(shè)2^x=t，由x∈M，則t∈（0，2]∪[8，+∞），則f（x）=t²-2t，配方求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由題意即可得到b的范圍．

解答 解：（1）由題意，3-4x+x²≥0，
解得，x≥3或x≤1；
即M={x|x≥3或x≤1}；
函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-4x+3}$=$\sqrt{（x-2）^{2}-1}$≥0，
則函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞）；
（2）令f（x）=4^x-2^x+1，
設(shè)2^x=t，
由x∈M，則t∈（0，2]∪[8，+∞），
則f（x）=t²-2t=（t-1）²-1，
其在（0，1）上是減函數(shù)，
在（1，2）上是增函數(shù)，
在（8，+∞）上是增函數(shù)，
又∵當(dāng)t=1時(shí)，即x=0時(shí)，f（x）=-1，
則使關(guān)于x方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有兩不等實(shí)數(shù)根，
則-1＜b＜0，
故b的取值范圍是（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域的求法及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，屬于中檔題．