Question

14．在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，可設(shè)：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$）．由動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可設(shè)：P（2+cosθ，sinθ）．M$（\frac{1+cosθ}{2}，\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}）$．再利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，
∴可設(shè)：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可設(shè)：P（2+cosθ，sinθ）．M$（\frac{1+cosθ}{2}，\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{BM}$=$（\frac{3+cosθ}{2}，\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）$．
則|$\overrightarrow{BM}$|²=$（\frac{3+cosθ}{2}）^{2}$+$（\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）^{2}$
=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$≤$\frac{49}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)$sin（\frac{π}{6}-θ）$=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{49}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．