Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=m﹣
（1）若f（x）是R上的奇函數(shù)，求m的值
（2）用定義證明f（x）在R上單調(diào)遞增
（3）若f（x）值域為D，且D[﹣3，1]，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，

∴f（x）+f（﹣x）=m﹣ +m﹣ =0，

即2m﹣（ + ）=02m﹣1=0，

解得m=

（2）解：設(shè) x1＜x2且x1，x2∈R，

則f（x1）﹣f（x2）=m﹣ ﹣（m﹣ ）= ，

∵x1＜x2∴ ，

，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上單調(diào)遞增

（3）解：由 ，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域為D，且D[﹣3，1]，

∴D=（m﹣1，m），

∵D[﹣3，1]，

∴ ，

∴m的取值范圍是[﹣2，1]

【解析】（1）由奇函數(shù)的定義可得f（x）+f（﹣x）=0恒成立，由此可求得m值；（2）設(shè) x1＜x2且x1 ， x2∈R，利用作差證明f（x1）＜f（x2）即可；（3）先根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性求出值域D，然后由D[﹣3，1]可得關(guān)于m的不等式組，解出即可；
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．