Question

【題目】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線，經(jīng)過點(diǎn)（3，6），
（1）求拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長．
（2）討論直線y=kx+1與拋物線的位置關(guān)系，并求出相應(yīng)的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：設(shè)拋物線的方程為：y2=2px，（p＞0），

由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，6），

∴36=2×p×3，解得：p=6，

∴拋物線方程為：y2=12x，

設(shè)直線y=2x﹣6與拋物線兩交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：x2﹣9x+9=0，

由韋達(dá)定理可知：x1+x2=9，x1x2=9，

∴|AB|= = =15，

拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長15

（2）

解：當(dāng)k=0時(shí)，y=1，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)k≠0時(shí)，由 ，整理得：k2x2+2（k﹣6）x+1=0，

當(dāng)△=4（k﹣6）2﹣4k2＞0，解得：k＜3，

∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

△=4（k﹣6）2﹣4k2＜0，解得：k＞3，

直線與拋物線無交點(diǎn)，

當(dāng)△=4（k﹣6）2﹣4k2=0，即k=3時(shí)，

直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上可知：當(dāng)k＞3時(shí)，直線y=kx+1與拋物線相離，即直線與拋物線無交點(diǎn)，

當(dāng)k=3時(shí)，直線y=kx+1與拋物線相切，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)k＜3且k≠0，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線相交，有一個(gè)交點(diǎn)

【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為：y2=2px，（p＞0），由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，6），代入即可求得p的值，求得拋物線方程，將y=2x﹣6代入y2=12x，由韋達(dá)定理求得x1+x2=9，x1x2=9，根據(jù)弦長公式可知：|AB|= ，即可求得拋物線截直線y=2x﹣6所得的弦長；（2）當(dāng)k=0時(shí)，y=1，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k≠0時(shí)，將y=kx+1代入拋物線方程，由△＞0，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求得k的取值范圍，當(dāng)△＜0，直線與拋物線相離，無交點(diǎn)，求得k的取值范圍，當(dāng)△=0，直線與拋物線相切，僅有幾個(gè)交點(diǎn)，求得k的取值．