Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$a（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍
（2）若f'（-1）=0，
①求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
②證明對(duì)任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{5}{16}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)f（x）=（x²+$\frac{3}{2}$）（x+a）（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)有實(shí)數(shù)解，再令方程的判別式大于或等于零即可得a的范圍；
（2）先由f′（-1）=0求出a值；①令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式可得函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于零，解不等式可得函數(shù)的減區(qū)間；
②求函數(shù)f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，當(dāng)這兩個(gè)值差的絕對(duì)值小于$\frac{5}{16}$，即證明了x₁、x₂∈（-1，0）時(shí)，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{5}{16}$恒成立．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$a，
∴f′（x）=3x²+2ax+$\frac{3}{2}$，
（1）∵函數(shù)f（x）的圖象有與x軸平行的切線，
∴f′（x）=0有實(shí)數(shù)解則△=4a²-4×3×$\frac{3}{2}$≥0，
即a²≥$\frac{9}{2}$，
所以a的取值范圍是（-∞，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（2）∵f′（-1）=0，∴3-2a+$\frac{3}{2}$=0，a=$\frac{9}{4}$，
∴f′（x）=3x²+$\frac{9}{2}$x+$\frac{3}{2}$=3（x+$\frac{1}{2}$）（x+1），
①由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$；
由f′（x）＜0得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（-1，-$\frac{1}{2}$）；
②證明：易知f（x）的最大值為f（-1）=$\frac{25}{8}$，
f（x）的極小值為f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{49}{16}$，又f（0）=$\frac{27}{8}$，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=$\frac{27}{8}$，
最小值m=$\frac{49}{16}$，
∴對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=$\frac{27}{8}$-$\frac{49}{16}$=$\frac{5}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，特別是在研究函數(shù)單調(diào)性和最值上的應(yīng)用，解題時(shí)要透徹理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，規(guī)范在求單調(diào)區(qū)間及最值時(shí)的解題步驟．