Question

8．已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，PA⊥面ABCD，若在BC上存在點E，使得PE⊥DE，則a的取值范圍為[6，+∞）．

Answer 1

分析 由PA⊥DE，PE⊥DE得出DE⊥平面PAE，故而DE⊥AE，設BE=x，則CE=a-x，利用勾股定理得出a關于x的函數(shù)，使用基本不等式得出a的范圍..

解答 解：連結AE，
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，
又DE⊥PE，PA?平面PAE，PE?平面PAE，PA∩PE=P，
∴DE⊥平面PAE，
∴DE⊥AE．
∴AE²+DE²=AD²，
設BE=x，則CE=a-x，
∴AE²=AB²+BE²=9+x²，DE²=CD²+CE²=9+（a-x）${\;}^{{\;}^{2}}$，
∴x²+9+9+（a-x）${\;}^{{\;}^{2}}$=a²，即x²-ax+9=0，
∴a=$\frac{{x}^{2}+9}{x}$=x+$\frac{9}{x}$≥6．
∴a的取值范圍是[6，+∞）．
故答案為[6，+∞）．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，基本不等式的應用，屬于中檔題．