Question

18．在等差數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，
（Ⅰ）若a₁=2，且a₂²=a₁•a₅，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a₁＞0，且S₁₂＞0，S₁₃＜0，則當(dāng)n為何值時，S_n最大？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=2，且a₂²=a₁•a₅，可得（2+d）²=2（2+4d），解之可得到d的值，利用等差數(shù)列的通項公式即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）依題意知，S₁₂=6（a₆+a₇）＞0，S₁₃=13a₇＜0，于是有a₇＜0，a₆＞0，∴d=a₇-a₆＜0，而a₁＞0，從而可得到當(dāng)n=6時，S₆最大．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意有（2+d）²=2（2+4d），
化簡得d²-4d=0，解得d=0或d=4．
當(dāng)d=0時，a_n=2；
當(dāng)d=4時，a_n=2+（n-1）•4=4n-2，
從而得數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2或a_n=4n-2．…（6分）
（Ⅱ）∵S₁₂=$\frac{{12（{a_1}+{a_{12}}）}}{2}$=6（a₆+a₇）＞0，S₁₃=$\frac{{13（{a_1}+{a_{13}}）}}{2}$=13a₇＜0，
∴a₇＜0，a₆＞0，∴d=a₇-a₆＜0，而a₁＞0，
∴a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆＞0＞a₇，（即數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列）
∴當(dāng)n=6時，S₆最大．…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用與數(shù)列的函數(shù)特性，考查方程思想與分析、運算能力，屬于中檔題．