Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$，（x∈[2，6]）
（1）利用定義證明函數(shù)f（x），x∈[2，6]是減函數(shù)
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在[2，6]上是減函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在[2，6]上是減函數(shù)，可得函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$，（x∈[2，6]），設(shè)2≤x₁＜x₂≤6，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{（x}_{2}-1）-2{（x}_{1}-1）}{{（x}_{1}-1）•{（x}_{2}-1）}$=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）•{（x}_{2}-1）}$，
由題設(shè)可得x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，∴$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）•{（x}_{2}-1）}$＞0，故f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在[2，6]上是減函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在[2，6]上是減函數(shù)，可得最大值為f（2）=2，最小值為f（6）=$\frac{2}{5}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．