Question

12．點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，點(diǎn)P到直線3x-4y=24的最大距離和最小距離為$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$；$\frac{12（2-\sqrt{2}）}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ），可得點(diǎn)P到直線3x-4y=24的d的表達(dá)式，再根據(jù)余弦函數(shù)的值域求得它的最值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ），
可得點(diǎn)P到直線3x-4y=24的d=$\frac{|12cosθ-12sinθ-24|}{{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}^{\;}}$=$\frac{|12\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-24|}{5}$，
當(dāng)$cos（θ+\frac{π}{4}）=-1$時(shí)，d取得最大值為$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$，
當(dāng)$cos（θ+\frac{π}{4}）=1$時(shí)，最小值為 $\frac{12（2-\sqrt{2}）}{5}$．
故答案為：$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$；$\frac{12（2-\sqrt{2}）}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．