Question

9．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一個焦點重合，直線y=x-4與拋物線交于A，B兩點．
（1）求p的值；
（2）求弦|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）易知焦點F（4，0）；從而確定$\frac{p}{2}$=4，從而解得．
（2）易知直線y=x-4過點F（4，0），聯(lián)立方程化簡得x²-24x+16=0，從而可得x₁+x₂=24，從而解得．

解答 解：（1）∵雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴c=$\sqrt{12+4}$=4，
故焦點F（4，0）；
故$\frac{p}{2}$=4，故p=8；
（2）易知直線y=x-4過點F（4，0），
聯(lián)立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=16x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，
解得，x²-24x+16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故x₁+x₂=24，
故|AB|=|AF|+|BF|=24+8=32．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程的應(yīng)用及拋物線的標準方程的求法及直線與拋物線位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用．